フェルマーの最終定理

「驚くべき証明を私は見つけたが、これを記すには余白が狭すぎる」

『ｘn ＋ｙn ＝ｚn でｎ≧３のとき、ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない。』

　フェルマーが愛読した古代ギリシアのディオファントスによる本「アリスメティカ（算術）」の欄外の余白にこの書き込みをしたのは１６３７年、日本では島原の乱が起き、三代将軍家光の治世下のことです。

たった８文字で書かれたこの単純な式はフェルマー予想と呼ばれ、人類の頭を悩まし続け、多くの高名な数学者がフェルマー予想に挑戦したにもかかわらずことごとくそれを退けてきました。

フェルマーの問題は見かけがシンプルであるうえに、新規性、意外性、美しさ、難しさ、完全さなどの要素を備えていた一種の芸術作品といえるでしょう。

　フェルマー予想は３６０年ものあいだ未解決の数学的難問であったのですが、１９９４年、イギリス人で米国プリンストン大学の数学者ワイルズがその証明に成功し、かくして「予想」は「定理」となりました。難攻不落のフェルマー城はついに落城したのです。

　なぜこの問題がそんなに高い関心を集めたのかというと、

１）問題の意味が誰にもわかるほどやさしく、今にも解けそうでなかなか解けないきわどさと不思議さ、芸術性の高さをもっていたこと

２）フェルマー自身が「驚くべき証明を私は見つけたが、これを記すには余白が狭すぎる」という謎めいた言葉を残したためでしょう。フェルマーはこれをいかにして証明したかを記してはいないため、われわれはどのようにしてこの事実を証明したかについては推測するほかありません。

　フェルマーの問題は、ｎ＝１のときにはｘ＋ｙ＝ｚという単なる足し算ですから、ｘとｙにどんな自然数を入れても自然数ｚは必ず存在します。ｎ＝２の場合はピタゴラス方程式と呼ばれ、無数の解をもち、しかもすべての解をもれなく求めることのできる公式も知られています。ｎ＝４の場合は、フェルマー自身が無限降下法という一種の背理法を用いて０と１の中間に整数が存在するという矛盾を導き出すことによって証明が与えられました。

指数が３以上のフェルマー方程式については、ｎ＝３の場合はオイラー（１７７０年→【補】）、ｎ＝５の場合はディリクレとルジャンドル（１８２５年）、ｎ＝７の場合はラメ（１８３９年）によって証明が与えられ、それ以上のｎについては素数の場合だけを調べればよいのですが、初等的な方法では手続きが急速に複雑になって行き詰まりこれ以上進むことに限界がありました